如果他们全都错了会怎样？数学猜想的哲学思考
一、文章概述
1. 基本信息
- 标题：What if they are all wrong?
- 作者：Igor Pak（UCLA 数学教授）
- 发布时间：2020 年 12 月 10 日
- 来源：Igor Pak's blog（WordPress 博客）
2. 核心问题
数学界是否存在系统性偏见，过度重视证明而忽视反驳？
二、背景与问题
1. 猜想的普遍性
猜想是数学界的核心元素，渗透到每个领域和子领域。它们形式多样：
- 著名猜想 vs 冷门猜想
- 经典猜想 vs 新兴猜想
- 重要猜想 vs 技术性猜想
- 受欢迎猜想 vs 争议性猜想
2. 猜想的四种类型
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A[数学猜想类型] --> B[短跑型<br/>触手可及]
A --> C[铁人三项型<br/>需要大量工具和时间]
A --> D[星际远征型<br/>需要几代人的努力]
A --> E[北极星型<br/>用于导航，不求到达]
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style C fill:#fff4e1
style D fill:#f3e5f5
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类型说明：
- 短跑型：几乎可以达到，只是谁先到达的问题（如 100 米短跑）
- 铁人三项型：需要巨大努力、多种工具和长期投入
- 星际远征型：需要数百年跨代承诺，可能与文明失联
- 北极星型：如北极星，没人真正想要到达，主要用于导航定位
3. 核心疑问
如果许多/大多数猜想实际上是错误的，会怎样？
三、什么是数学猜想？
1. 基本定义
猜想是有效性待确认的数学主张。但如果要让人们真正研究它，必须具备：
- 有趣性（interesting）
- 启发性（inspiring）
2. 为什么猜想是有趣的？
A. 传统论证方式
通常的论证是：这个猜想可以推导出许多有趣的结果和已知定理。
B. 自指性问题
这种论证存在自指缺陷：
- 已知结果已经知道，无需再证明
- 那些"结果"本身就是其他猜想
- 这变成了"这个猜想蕴含那个猜想"的循环论证
C. 反直觉的质疑
如果一个猜想有这么多有趣的推论，是否意味着：
- 它太强了，很可能是错的？
- 如果它可能是错的，是否应该被认为是不有趣的？
3. 反驳也可能有趣
反驳一个大家都相信为真的猜想，难道不是更有趣吗？某种程度上，如果直到现在所有人都错了，这难道不是更加有趣的发现吗？
4. Baum-Connes 猜想的辩护
面对如何证明 Baum-Connes 猜想有趣性的质疑，作者们选择了不同策略：
- 抛弃自指方法
- 强调猜想带来的数学统一感
- 认为兴趣在于猜想所蕴含的数学统一性
但这引发了新问题：
- 数学难道不应该关于绝对真理，而非感觉？
- 如果数学已经是"一个整体"（Noga Alon 语），为何需要新的"统一感"？
四、什么让我们相信猜想是真的？
1. 真实性与有趣性的等同
在大多数情况下，我们论证猜想"真实"的方式与论证它"有趣"的方式完全相同：
- 在特殊情况下验证
- 证明它蕴含其他被认为是真的猜想
本质上是：真实 = 有趣
2. 逻辑困境的例子
以 abc 猜想为例：
- abc 猜想蕴含 Erdős-Ulam 问题的否定解
- Erdős-Ulam 问题的肯定解蕴含 Harborth 猜想
- 反直觉地：按照上述逻辑，应该致力于 Erdős-Ulam 问题的肯定解，因为它既蕴含一个猜想又给另一个猜想提供反例
3. 客观性缺失
没有客观方法来判断猜想是否真实，也没有客观方法来说明它究竟有什么有趣之处。这一切都在我们的想象之中。
Nikolay Konstantinov 曾说：
数学是一个无聊的学科，因为每个陈述都等价于说某个集合是空的。
他并非意在打击积极性，而是强调了一个严肃问题。
五、各方观点
1. Robbert Dijkgraaf（现代描述）
在数学中，伟大的猜想是精确表述的陈述，极可能是真的，但尚未找到决定性证明。这些猜想有深厚的根源和广泛的影响。对它们解决方案的搜寻指导着数学的大部分内容。首次征服它们的人将获得永恒的荣誉。值得注意的是，数学已将猜想制定提升为高级艺术。精心选择但未证明的陈述可能使其作者世界闻名，有时甚至比提供最终证明的人更出名。
2. Karl Popper（科学哲学家）
伟大的科学家是大胆思想的人，但对自己的想法高度批判：他们试图通过首先寻找自己的想法是否可能错误来验证是否正确。他们用大胆的猜想和严厉的反驳尝试来工作。
关于矛盾
在前科学水平上，我们讨厌自己可能出错的观念。所以我们顽固地坚持自己的猜想，只要可能。在科学水平上，我们系统地寻找自己的错误。
3. Paul Erdős（猜想之王）
认为人生的意义是"证明和猜想"，发表了超过 180 篇包含猜想和开放问题的论文。
4. Peter Sarnak（谨慎派）
认为应该极其谨慎地陈述猜想，以免人们浪费时间研究它。他半开玩笑地说：
既然我们奖励提出正确猜想的人，也许我们应该惩罚提出错误猜想的人。比如说，切断他们的手指。
作者反驳：Erdős 提出了数百个猜想，只有少数被反驳，这在近 50 年的时间跨度上是惊人的成功率。
5. Atle Selberg（平衡观点）
我应该根据一个人实际做了什么来评判一位数学家，这似乎意味着他证明了什么定理。Mordell 的评估在我看来似乎是相当错误的。我认为一个幸运但未证明的猜想可能比许多可敬定理的证明对数学重要得多。
六、问题所在
1. 证明与反驳的不平衡
尽管有 Popper 关于"严厉反驳自己猜想"的高调声明，作者认为在现代数学科学中没有太多真实性。
反驳并非不受庆祝，但显然证明更频繁地被庆祝，程度也高得多。
2. 奖励机制的偏见
A. Clay 数学研究所的千禧年大奖
- 证明任何千禧年问题：100 万美元
- 反驳大多数千禧年问题：0 美元（P vs. NP 和 Navier-Stokes 除外）
为什么？CMI 的宣称目标是：
认可数学研究中的非凡成就和进展。
难道反驳黎曼猜想不算是"进展"吗？为什么 CMI 要在秤上放拇指，只支持一方？
B. P vs. NP 的独立性
如果 P vs. NP 独立于 ZFC 呢？CMI 显然不会为此付费。为什么这种事情从未发生过？（参考连续统假设）
Scott Aaronson 的观点：
当然，P vs. NP 可能是不可证明的，但这个事实本身可能永远无法证明：也许 P vs. NP 的独立性问题本身独立于集合论，以此类推永无止境！但至少可以说，如果 P vs. NP（或者黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）被证明独立于 ZF，这将是一个前所未有的发展。
3. 哥德巴赫猜想的例子
- 最受讨论、最直观正确的数论陈述
- 某出版社悬赏 100 万美元给证明猜想的人
- 为什么只给证明？
作者表示：如果是保险精算师，会允许他们多付 100 美元保费，将"证明或反驳"纳入条件；再多付 50 美元，允许"或独立于 ZF"——这是免费的钱。
4. 解决方案的价值排序
Saharon Shelah 的观点：
给定一个猜想，最好的是证明它。其次是反驳它。第三好的是证明它不可能被反驳，因为这会告诉你不要浪费时间试图反驳它。这就是 Gödel 对连续统假设所做的事情。
但问题是：有些结果被认为比其他结果更有价值，这公平吗？
七、为什么应该反驳猜想？
1. 机会主义（Opportunistic）
人们似乎更努力地试图证明而非反驳。这为思想开明的数学家创造了机会利基。
2. 美学价值（Beautiful）
猜想的刚性
猜想通常是刚性的，形式为"类型 pqr 的对象满足性质 abc"。
普适性原理
- 有些人称之为"完备性"
- 有些人称之为"墨菲定律"
- 一般原则相同：仅仅希望所有 pqr 满足 abc 不足以相信这种蕴含
- 必须有强有力的理由说明为什么 abc 应该成立
- 如果没有，pqr 可能几乎任何东西，特别是非-abc
- 非abc 对象可能被视为"丑陋"，但普适性意味着对象可以是彩虹的每种颜色
这种调色板有自己的美感，但这是一种后天习得的品味。
3. 建设性（Constructive）
反驳猜想通常需要构造反例。这就像一个工程问题：建造某种 pqr，同时它不是 abc。这种构造如果可能的话，可能困难、耗时且需要计算机辅助。
但为什么？
- 你愿意建造一英里高的摩天大楼（还不存在）
- 还是证明这是不可能的？
4. 历史上的著名反驳
timeline
title 著名数学猜想反驳史
section 17-18世纪
1640 : Fermat 猜想<br/>Fermat 数全是素数
1747 : Euler 反驳<br/>F2 = 641 × 6700417
section 19-20世纪
1884 : Tait 猜想<br/>简单 3-多面体图的哈密顿性
1946 : Tutte 反驳
1902 : 广义 Burnside 问题<br/>周期群的有限性
1964 : Golod 反驳
1930 : Keller 猜想<br/>单位超立方体平铺
1992 : Lagarias & Shor 反驳
1932 : Borsuk 猜想<br/>凸集直径分割
1993 : Kahn & Kalai 反驳
1957 : Hirsch 猜想<br/>凸多面体图直径
2010 : Santos 反驳
section 21世纪
1976 : Connes 嵌入问题
2020 : Ji 等 5 人反驳
在所有这些情况下，反驳和反例并没有停止研究。相反，它们推动了该领域的进一步（有时是大量的）发展。
八、作者的个人贡献
Igor Pak 专门从事反驳猜想工作，近年成果包括：
1. Kirillov-Klyachko 猜想（2004）
约化 Kronecker 系数满足饱和性质（与 Greta Panova 合作）
2. Brandolini 等人猜想（2019）
具体格多面体可以多重平铺空间（与 Alexey Garber 合作）
3. Kenyon 问题（约 2005）
R³ 中的每条积分曲线都是由单位三角形组成的 PL 曲面的边界（与 Alexey Glazyrin 合作）
4. 独立性启发式的失败
I.J. Good 关于列联表数量的独立性启发式，即使对几乎所有均匀边缘情况也严重失败（与 Han Lyu 合作）
九、制度层面的改进建议
1. 奖励机构应该做什么？
A. 停止法律废话
停止"我们仅奖励在顶级期刊发表的证明"这种法律废话。反正你需要设立科学委员会。
B. 灵活的奖励机制
应该说的是：
我们有[这么多钱]和一个独立科学委员会，他们将根据他们认为合适的任何[这个问题]的进展部分或全部给予奖励。
这样，反驳或独立性结果将获得与证明同样多的奖励。
C. 部分解决方案的认可
例如，如果有人证明哥德巴赫猜想对大于 exp(exp(10^100000)) 的整数成立，这超出了剩余整数计算验证的能力。应该给这个人至少 50% 的奖金，留给未来可能的改进。
2. 期刊应该做什么？
A. 接受计算和实验性结果
变得更开放于计算和实验性性质的结果，包括：
- "基于计算证据，我们相信以下 UVW 猜想"
- "我们开发了一个新算法，确认 UVW 猜想对 n<13 成立"
这些仍然是数学的贡献，期刊应该学会承认它们。
B. 编辑困境的三个标准
评估开放问题解决方案的三个真正标准：
- 这是一个旧的、著名的或深入研究的问题吗？
- 工具是否足够有趣或创新，对未来研究有帮助？
- 解决方案对其他问题的影响是否足够重要？
C. 假设实验
想象一篇论文提交给顶级数学期刊，解决组合学中的著名开放问题：
- 世界 1：2 页证明，使用优美但初等的线性代数
- 世界 2：2 页总结，详细计算搜索
哪个世界的论文会被发表？
现实案例：
- 世界 1 是 Hao Huang 对超立方体诱导子图猜想的优美证明，蕴含敏感性猜想，Annals 发表了
- 世界 2：除非是 200 年前的著名猜想，否则很难想象 Annals 会接受这样的短篇计算论文
3. 个人应该如何做？
A. 提出猜想
每次写论文时，讲述你证明了什么的故事。然后讲述你想证明但无法证明的故事，以猜想形式陈述。
B. 计算验证
学会在许多小情况下计算验证你的猜想，提供支持证据。
C. 进行实验
学会做实验，通过计算探索领域，这就是你做出新猜想的方式。
D. 了解自己
理解你的技能、工具、能力（问题解决、吸收文献、连接其他领域）。面对猜想时，用这些知识理解你至少在原则上是否能够证明或反驳它。
E. 寻找合作者
积极寻找合作者，那些拥有你缺失的技能、工具或能力的人。更重要的是，他们可能对猜想的有效性以及如何攻击它有不同的观点。
F. 勇敢和乐观
无论是决定证明、反驳猜想，还是陈述新猜想，去做吧！忽略 Sarnak 和 Zeilberger 之流的评判。
十、不同研究者的态度
当被问及猜想创造的不确定性时，人们的回答令人惊讶：
1. 茫然型
你说这个猜想可能是错的什么意思？它必须是真的，否则我做的一切都没有太大意义。
2. 简单型
这是一个重要的猜想。著名的人说它是真的。我的工作是证明它。
3. 防御型
你真的认为这个猜想可能是错的吗？为什么不试试反驳它呢？我们看看谁是对的。
4. 圣经型（不太可能真实）
我倾向于每周 6 天朝证明工作，1 天朝反驳工作。
5. 实用型
我朝证明工作，直到遇到障碍。我利用这个障碍的想法尝试构造潜在的反例。当我找到一种方法来丢弃这些反例时，我尝试将方法推广以继续朝证明工作。继续直到一方获胜。
后两种似乎是明智的，但第 4 种可能只是炫耀——不太可能真的那样做。第 5 种在可能的情况下听起来很棒，但这极其罕见。
十一、核心洞察
1. 普适性的哲学
"universality"（普适性）概念是理解为何大多数猜想可能错误的关键：
- 如果没有强有力的理由说明性质 abc 应该对所有类型 pqr 的对象成立
- 那么 pqr 可能几乎任何东西
- 特别是非-abc 对象的存在
2. 学术偏见的表现
A. 奖励机制
- Clay 千禧年大奖：证明 100 万美元，反驳 0 美元
- 哥德巴赫猜想奖金：仅奖励证明
B. 期刊审稿
- 优美证明容易发表
- 计算反驳难以发表（除非 200 年历史的猜想）
C. 职业评价
- NSF 审稿人认为如果证明了猜想会更有价值
3. 平衡的必要性
科学研究应该平衡证明和反驳的努力，因为：
- 反驳同样能推动学科发展
- 它能纠正研究方向，节省资源
- 它揭示了数学对象的丰富性和复杂性
- 它体现了科学方法的核心精神：证伪
十二、总结
Igor Pak 的这篇文章深刻反思了数学界对猜想的系统性偏见。核心观点包括：
- 猜想的价值判断缺乏客观标准
- 证明与反驳之间存在严重不平衡
- 奖励机制和期刊审稿加剧了这种偏见
- 反驳猜想具有同等重要的科学价值
文章呼吁数学界：
- 制度层面：改革奖励机制，平等对待证明和反驳
- 期刊层面：接受计算和实验性结果
- 个人层面：勇敢地提出、验证、反驳或证明猜想
最重要的是：接近真理很重要，无论那个真理是什么。